Question

（2011•惠州模擬）已知函數y=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x．
（1）求該函數的最小正周期和最小值；
（2）若x∈[0，π]，求該函數的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）將函數解析式第二項利用二倍角的正弦函數公式化簡，第一、三項利用平方差公式分解因式后利用同角三角 函數間的基本關系及二倍角的余弦函數公式化簡，再利用兩角和與差的正弦函數公式及特殊角的三角函數值化為一個角的正弦函數，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

，即可求出函數的最小正周期；由正弦函數的值域得出函數的值域，即可確定出函數的最小值；
（2）由正弦函數的單調增區間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出關于x的不等式，求出不等式的解集，令解集中k=0和1，得到x的范圍，與x∈[0，π]取交集，即可得到該函數的單調遞增區間．

解答：解：（1）y=sin⁴x+2

3

sinxcosx-cos⁴x
=

3

sin2x+（sin⁴x-cos⁴x）
=

3

sin2x+（sin²x+cos²x）（sin²x-cos²x）
=

3

sin2x-cos2x=2sin（2x-

π

6

），…（4分）
∵ω=2，∴T=π，
又-1≤sin（2x-

π

6

）≤1，∴-2≤2sin（2x-

π

6

）≤2，
則y_min=-2；…（6分）
（2）令2kπ-

π

2

≤2x-

π

2

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
則kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈Z，…（8分）
令k=0，1，得到x∈[-

π

6

，

π

3

]或x∈[

5π

6

，

4π

3

]，…（10分）
與x∈[0，π]取交集，得到x∈[0，

π

3

]或x∈[

5π

6

，π]，
則當x∈[0，π]時，函數的遞增區間是x∈[0，

π

3

]和x∈[

5π

6

，π]．…（12分）

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，三角函數中的恒等變換應用，以及正弦函數的單調性，涉及的知識有：二倍角的正弦、余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，以及正弦函數的定義域與值域，熟練掌握公式是解本題的關鍵．