Question

下列命題：
①若f（x）是定義在[-1，1]上的偶函數(shù)，且在[-1，0]上是增函數(shù)，θ∈(

π

4

，

π

2

)，則f（sinθ）＞f（cosθ）．
②若銳角α、β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

．
③若f(x)=2cos2

x

2

-1，則f(x+π)=f(x)對(duì)x∈R恒成立．
④要得到函數(shù)y=sin(

x

2

-

π

4

)的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位．
其中真命題的個(gè)數(shù)有（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：對(duì)于①，聯(lián)系偶函數(shù)和增函數(shù)得到函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)后即可解決；
對(duì)于②，cosα＞sinβ，化成同名三角函數(shù)后利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可解決；
③f（x）=2cos²

x

2

-1=cosx，根據(jù)三角函數(shù)的周期性解決；
④函數(shù)y=sin（

x

2

-

π

4

）的中x的系數(shù)

1

2

，要引起特別注意，它對(duì)平移變換的量產(chǎn)生影響．

解答：解析：①由已知可得函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，
且由于θ∈（

π

4

，

π

2

）⇒1＞sinθ＞cosθ＞0，
故有f（sinθ）＜f（cosθ），故①錯(cuò)；
②由已知角的范圍可得：cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β）⇒α＜

π

2

-β⇒α+β＜

π

2

，
故②正確；
③錯(cuò)，因?yàn)橐字猣（x）=cosx，其周期為2π，故應(yīng)有f（x）=f（x+2π）恒成立，
④錯(cuò)，應(yīng)向右平移

π

2

個(gè)單位得到．
故其中真命題的是：②．
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題是一道綜合題，考查了函數(shù)的性質(zhì)和三角函數(shù)中的二倍角公式以及三角函數(shù)圖象的變換等．