Question

已知橢圓C：＝1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁，F(xiàn)₂，離心率為，且過點(diǎn)(2，)．
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)M，N，P，Q是橢圓C上的四個(gè)不同的點(diǎn)，兩條都不和x軸垂直的直線MN和PQ分別過點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂，且這兩條直線互相垂直，求證：為定值．

Answer 1

（1）＝1（2）

(1)由已知，e＝＝，所以＝＝1－e²＝，所以a²＝2b².
所以C：＝1，即x²＋2y²＝2b².
因?yàn)闄E圓C過點(diǎn)(2，)，代入橢圓方程得b²＝4，所以a²＝8.
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為＝1.
(2)證明：由(1)知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F₁(－2，0)，F(xiàn)₂(2，0)．
根據(jù)題意，可設(shè)直線MN的方程為y＝k(x＋2)，
由于直線MN與直線PQ互相垂直，則直線PQ的方程為y＝－(x－2)．
設(shè)M(x₁，y₁)，N(x₂，y₂)．
由方程組消去y得(2k²＋1)x²＋8k²x＋8k²－8＝0.
則x₁＋x₂＝，x₁x₂＝.
所以|MN|＝＝.同理可得|PQ|＝.
所以