Question

已知函數在區間（-1，1）上單調遞增，在區間（1，3）上單調遞減．
（I）若b=-2，求c的值；
（II）當x∈[-1，3]時，函數f（x）的切線的斜率最小值是-1，求b、c的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）由單調遞區間的端點可得：1是極值點，從而1是導函數的一個零點，建立等式關系，求出參數c；
（II）討論對稱軸-b與區間[-1，3]的位置關系，從而研究k=f'（x）的最小值，使k_min=-1，求出滿足條件的b和c即可．
解答：解：（I）由已知可得f'（1）=0，又f'（x）=x²+2bx+c
所以f'（1）=1+2b+c=0，將b=-2代入，可得c=3；
（II）令k=f'（x），則
1）若b≤-1時，k_min=f'（-1）=1-2b+c=-1
又1+2b+c=0，得（舍）
2）若-1≤-b≤3，則k_min=f'（-b）=b²-2b²+c=-1
又1+2b+c=0，得b=-2，c=3或b=0，c=-1（舍）
3）若1-b＞3，則k_min=f'（3）=9+6b+c=-1
又1+2b+c=0，得b=（舍）
綜上所述，b=-2，c=3
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性和極值，同時考查了二次函數討論對稱軸與定義域的位置關系研究函數的最值，屬于基礎題．