Question

【題目】如圖，四棱錐中， 底面，底面是直角梯形， ， ， ， ，點在上，且．

（Ⅰ）已知點在上，且，求證：平面平面；

（Ⅱ）當二面角的余弦值為多少時，直線與平面所成的角為？

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）當二面角的余弦值為時，直線與平面所成的角為．

【解析】試題分析：（Ⅰ）現根據已知，結合平面幾何知識證明，進而可證四邊形是平行四邊形，則，從而，利用底面，結合線面垂直、面面垂直的判定定理可得結果；（Ⅱ）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，∵是平面的一個法向量，

再求出平面的一個法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.

試題解析：（Ⅰ）∵， ，∴，

∵底面是直角梯形， ， ，

∴，即，

∴，

∵， ，∴，

∴四邊形是平行四邊形，則，

∴，

∵底面，∴，

∵，

∴平面，∵平面，

∴平面平面．

（Ⅱ）解：∵， ，∴平面，則為直線與平面所成的角，

若與平面所成夾角為，則，即，

取的中點為，連接，則，以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，

則， ， ， ，

∴， ，

設平面的法向量，則即

令，則， ，∴，

∵是平面的一個法向量，

∴，

即當二面角的余弦值為時，直線與平面所成的角為．