Question

在正四棱錐S—ABCD中，E是BC的中點，P點在側面△SCD內及其邊界上運動，并且總是保持PE⊥AC.

（1）指出動點P的軌跡（即說明動點P在滿足給定的條件下運動時所形成的圖形），證明你的結論;

（2）以軌跡上的動點P為頂點的三棱錐P－CDE的最大體積是正四棱錐S—ABCD體積的幾分之幾？

（3）設動點P在G點的位置時三棱錐P－CDE的體積取最大值V₁，二面角G—DE—C的大小為α，二面角G—CE—D的大小為β，求tanα∶tanβ的值；

（4）若將“E是BC的中點”改為“E是BC上異于B、C的一定點”，其他條件不變，請指出點P的軌跡，證明你的結論.

Answer 1

解：（1）如圖，分別取CD、SC的中點F、G，連結EF、EG、FG、BD.設AC與BD的交點為O，連結SO，則動點P的軌跡是△SCD的中位線FG.

由正四棱錐可得SB⊥AC,EF⊥AC.又∵EG∥SB,∴EG⊥AC,

∴AC⊥平面EFG，∵P∈FG,E∈平面EFG，

∴AC⊥PE.

（2）由于S_△CDE是定值，所以當P到平面CDE的距離最大時，V _P—CDE最大，易知當P與G重合時，P到平面CDE的距離最大，

故(V_P—CDE) _max=V_G—CDE,又S_△CDE=S_{正方形ABCD}，

G到平面ABCD的距離是點S到平面ABCD的距離的，

∴(V_P—CDE) _max=V_G—CDE=V_S—ABCD.

（3）令AB=a,EF與AC交于N點，連結GN，則GN⊥平面ABCD.因此二面角G—DE—C和二面角G—CE—D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距離的倒數比.

∵N是OC的中點，∴N到BC的距離為a.

連結DE交OC于M，則M是△DBC的重心，∴MN=.

又ME=a，NE=,

在Rt△MNE中，容易求得N到DE的距離為.

故tanα∶tanβ=∶1.

（4）動點P在側面SCD內部及其邊界上運動，且總保持PE⊥AC，那么這些相交于定點E的直線系應位于某個與直線AC垂直的平面內，而由正四棱錐的性質可知，AC⊥平面SBD，因此動直線PE集中在過E且平行于平面SBD的一個平面內.過E作EG′∥SB，EF′∥BD，分別交SC于G′，交CD于F′，則平面EF′G′∥平面SBD，從而AC⊥平面EF′G′，故點P的軌跡是線段F′G′.