Question

如圖，在正四棱錐S-ABCD中，AB=8

2

，SA=10，M、N、O分別是SA、SB、BD的中點．
（1）設P是OC的中點，證明：PN∥平面BMD；
（2）求直線SO與平面BMD所成角的大小；
（3）在△ABC內是否存在一點G，使NG⊥平面BMD，若存在，求線段NG的長度；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）建立空間坐標系，根據題意求出平面BMD的法向量

n

，因為

PN

•

n

=0，進而得到線面平行．
（2）由（1）可得平面BMD的法向量，再求出直線OS所在的向量，利用向量之間的運算求出兩個向量的夾角，再轉化為線面角．
（3）若存在點G，設G點坐標為（x₁，y₁，0），結合題意可得：

n

∥

NG

，即可求出點G的坐標，再檢驗點G的坐標滿足題意，進而求出NG的長度．

解答：解：（1）以點O為原點，分別為OB、OC、OS所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系O-xyz，

則O(0，0，0)，A(0，-8，0)，B(8，0，0)，P(0，4，0)， S(0，0，6)，M(0，-4，3)，N(4，0，3) OM =(0，-4，3)， OB =(8，0，0，)， 設平面BMD的一個法向量為 n =(x，y，z) 則 n • OM =0 n • OB =0 即 -4y+3z=0 8x=0 令y=3得 n =(0，3，4)

又因為

PN

=(4，-4，3)，
所以

PN

•

n

=0，
又∵直線PN不在平面BMD內
∴PN∥平面BMD．   …（4分）
（2）設直線SO與平面BMD所成角為θ，
所以sinθ=

| OS • N |

| OS || n |

=

24

6×5

=

4

5

，
∵θ∈(0，

π

2

)∴θ=arcsin

4

5

．…（8分）
（3）若存在點G，設G點坐標為（x₁，y₁，0），

則 NG =(x1-4，y1，-3) ∵NG⊥平面BMD∴ NG ∥ n 由此得x1=4，y1=- 9 4

所以點G坐標為(4，-

9

4

，0)…（10分）
在平面直角坐標系xoy中，△ABC的內部區域可表示不等式組：

x＞0 x+y＜8 x-y＞8

，
經檢驗點G的坐標滿足上述不等式組．

又 NG =(0，- 9 4 ，-3) ∴| NG |= (- 9 4 )2+(-3)2 = 15 4

故在△ABC內存在一點G，使NG⊥平面BMD，且NG=

15

4

…（12分）

點評：本題考查的知識點是直線與平面所成的角，直線與平面平行的判定以及直線與平面垂直的判定，夾角此類問題的關鍵是熟練掌握直線與平面夾角的定義，及空間線線、線面垂直關系之間的互相轉化，或者建立空間直角坐標系利用空間向量的有關知識解決問題．