Question

【題目】已知函數 （x∈R）．
（Ⅰ）求函數f（x）的最小正周期及單調遞減區間；
（Ⅱ）若 ，求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）=2 sinxcosx﹣2cos2x= sin2x﹣（1+cos2x）
=2sin（2x﹣ ）﹣1，
∴函數f（x）的最小正周期T=π；
由2kπ+ ≤2x﹣ ≤2kπ+ 得：kπ+ ≤x≤kπ+ ，k∈Z．
∴函數f（x）的單調遞減區間為[kπ+ ，kπ+ ]k∈Z．
（Ⅱ）∵x∈[0， ]，
∴2x﹣ ∈[﹣ ， ]，
∴﹣ ≤sin（2x﹣ ）≤1，
∴﹣2≤2sin（2x﹣ ）﹣1≤1，即f（x）∈[﹣2，1]．
∴f（x）的值域為[﹣2，1]
【解析】（Ⅰ）利用二倍角的正弦與余弦及輔助角公式可求得f（x）=2sin（2x﹣ ）﹣1，從而可求其周期及單調遞減區間；（Ⅱ）x∈[0， ]2x﹣ ∈[﹣ ， ]，利用正弦函數的單調性與最值即可求得f（x）的值域．
【考點精析】關于本題考查的兩角和與差的正弦公式和二倍角的正弦公式，需要了解兩角和與差的正弦公式：；二倍角的正弦公式：才能得出正確答案．