Question

【題目】已知函數，其中為常數．

（1）若曲數在點處的切線與直線垂直，求函數的單調遞減區間；

（2）若函數在區間[1,3]上的最小值為，求的值．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

試題分析：（1）因為曲線在點處的切線與直線垂直，解得，代入求得，令，即可求解函數的單調遞減區間；（2）分別根據和、三種情況分類討論，得出函數的單調區間，確定函數的最小值，即可求解的值．

試題解析：（1）因為曲線在點處的切線與直線垂直，

所以，即，解得．

當時，．

令，解得，所以函數的遞減區間為（0,2）．

（2）當時，在（1,3）上恒成立，這時在[1,3]上為增函數，

∴，令，得（舍去）；

當時，由得，

∴對于有在上為減函數，

對于有，在上為增函數，

∴，令，得；

當時，在（1,3）上恒成立，這時在[1,3]上為減函數，

∴，令得（舍去）．

綜上，．