Question

已知，二次函數，關于x的不等式f（x）＞（2m-1）x+1-m²的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），其中m為非零常數，設．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若存在一條與y軸垂直的直線和函數Γ（x）=g（x）-x+lnx的圖象相切，且切點的橫坐標x₀滿足|x₀-1|+x₀＞3，求實數m的取值范圍；
（Ⅲ）當實數k取何值時，函數φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在極值？并求出相應的極值點．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵，，
∴二次函數f（x）=x²+ax+m+1，
關于x的不等式f（x）＞（2m-1）x+1-m²的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），
也就是不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＞0的解集為（-∞，m）∪（m+1，+∞），
∴m和m+1是方程x²+（a+1-2m）x+m²+m=0的兩個根．
由韋達定理得：m+（m+1）=-（a+1-2m）
∴a=-2．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得=，
∴，，
∵存在一條與y軸垂直的直線和Γ（x）的圖象相切，且切點的橫坐標為x₀，
∴，
∵|x₀-1|+x₀＞3，∴x₀＞2．
令（x＞2），
則，
當x＞2時，，∴在（2，+∞）上為增函數，
從而，
∴．
（Ⅲ）φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．
∴φ'（x）=1-=．
方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．
①若m＞0時，△＞0，方程（*）的兩個實根為，
或，
則x∈（1，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
此時函數φ（x）存在極小值，極小值點為x₂，k可取任意實數．
②若m＜0時，當△≤0，即時，x²-（2+k）x+k-m+1≥0恒成立，φ'（x）≥0，φ（x）在（1，+∞）上為增函數，
此時φ（x）在（1，+∞）上沒有極值．
下面只需考慮△＞0的情況
由△＞0，得或，
當，則，，
故x∈（1，+∞）時，φ'（x）＞0，
∴函數φ（x）在（1，+∞）上單調遞增．
∴函數φ（x）沒有極值．
當時，，，
則x∈（1，x₁）時，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）時，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時，φ'（x）＞0．
∴函數φ（x）在（1，x₁）上單調遞增，在（x₁，x₂）上單調遞減，在（x₂，+∞）上單調遞增．
此時函數φ（x）存在極大值和極小值，極小值點x₂，有極大值點x₁．
綜上所述，若m＞0時，k可取任意實數，此時函數φ（x）有極小值且極小值點為x₂；
若m＜0時，當 時，函數φ（x）有極大值和極小值，
此時極小值點為x₂，極大值點為x₁（其中，．
分析：（I）利用向量的數量積可得函數f（x）=x²+ax+m+1，利用一元二次不等式的解集和相應的一元二次方程的實數根的關系可知m和m+1是方程x²+（a+1-2m）x+m²+m=0的兩個根，利用根與系數的關系即可得出a；
（II）由存在一條與y軸垂直的直線和Γ（x）的圖象相切，且切點的橫坐標為x₀，?；由切點的橫坐標x₀滿足|x₀-1|+x₀＞3，可得x₀＞2．令（x＞2），利用導數可得其單調性，即可得到m的取值范圍；
（III）由φ（x）=g（x）-kln（x-1）=-kln（x-1）的定義域為（1，+∞）．可得φ'（x）=1-=．方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判別式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．通過對△和m分類討論即可得出．
點評：熟練掌握向量的數量積、一元二次不等式的解集和相應的一元二次方程的實數根的關系、根與系數的關系、利用導數研究函數的單調性與極值等性質、分類討論的思想方法是解題的關鍵．