Question

已知一元二次函數y=f（x）滿足f（-1）=12，且不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜5}，當a＜0時，解關于x的不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1．

Answer 1

分析：設出二次函數，通過滿足f（-1）=12，且不等式f（x）＜0的解集是{x|0＜x＜5}，求出函數的表達式，化簡表達式為同解不等式，對a分類討論求出不等式的解集即可．

解答：解：依題意設f（x）=b（x-0）（x-5）=bx（x-5），且b＞0，
又f（-1）=12⇒b=2，∴f（x）=2x²-10x，
∴原不等式

2x2+(a-10)x+5

f(x)

＞1
化為

2x2+(a-10)x+5

2x2-10x

＞1?

ax+5

2x2-10x

＞0?(ax+5)(2x2-10x)＞0，?（ax+5）x（2x-10）＞0
a(x+

5

a

)x(2x -10)＞0?(x+

5

a

)x(2x -10)＜0，
令(x+

5

a

)x(2x -10)=0得x₁=0，x2=-

5

a

，x₃=5
當a=-1時，不等式的解為x＜0；
當-1＜a＜0時，5＜-

5

a

，
不等式的解為x＜0或5＜x＜-

5

a

；
當a＜-1時，5＞-

5

a

＞0，
不等式的解：x＜0或5＞x＞-

5

a

；
綜上所述：當-1＜a＜0時，
不等式的解集為{x|x＜0或5＜x＜-

5

a

}；
當a=-1時，不等式的解為{x|x＜0}；
當a＜-1時，不等式的解：{x|x＜0或5＞x＞-

5

a

}；（12分）

點評：本題考查不等式的解法，注意分類討論穿根法的應用，二次函數的求法，考查計算能力．