Question

斜率為k（k＞0）的直線l過定點P（0，m）（m＞0），與拋物線x²=2py（p＞0）交于A，B兩點，且A，B兩點到y軸距離之差為4k．
（Ⅰ）求拋物線方程；
（Ⅱ）若此拋物線焦點為F，且有|AF|+|BF|=4k²+4，試求m的值；
（Ⅲ）過拋物線準線上任意一點Q作拋物線的兩條切線，切點分別為M，N，試探究直線MN是否過定點，若過定點，求出定點的坐標．

Answer 1

解：（Ⅰ）設AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
則由，可得x²-2pkx-2pm=0．（2分）
∴x₁+x₂=2pk，
又依題意有|x₁+x₂|=4k=2pk，
∴p=2．
∴拋物線方程為x²=4y．（4分）
（Ⅱ）∵|AF|+|BF|=y₁+y₂+p
=k（x₁+x₂）+2m+2
=4k²+2m+2
=4k²+4，
∴m=1．（6分）
（Ⅲ）設M，N，Q（x₀，-1），
∵，
∴MQ的方程為，
∴x₁²-2x₁x+4y=0．（8分）
∵MQ過Q，∴x₁²-2x₁x₀-4=0，
同理x₂²-2x₂x₀-4=0，
∴x₁，x₂為方程x²-2x₀x-4=0的兩個根，
∴x₁x₂=-4．（10分）
又，
∴MN的方程為
∴，
所以直線MN過點（0，1）．（12分）
分析：（Ⅰ）設AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由，得x²-2pkx-2pm=0，利用韋達定理能求出p，從而求出拋物線方程．
（Ⅱ）因為|AF|+|BF|=y₁+y₂+p，由此能求出m的值．
（Ⅲ）設M，N，Q（x₀，-1），由，知x₁²-2x₁x+4y=0．由此能推導出直線MN過點（0，1）．
點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，綜合性強，是高考的重點．本題具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．