Question

如圖，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）上的焦點(diǎn)，P為橢圓上的點(diǎn)，PF₁⊥OX軸，且OP和橢圓的一條長軸頂點(diǎn)A和短軸頂點(diǎn)B的連線AB平行．
（1）求橢圓的離心率e
（2）若Q是橢圓上任意一點(diǎn)，證明∠F₁QF₂≤

π

2

（3）過F₁與OP垂直的直線交橢圓于M，N，若△M F₂N的面積為20

3

，求橢圓方程．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可表示出MP坐標(biāo)，進(jìn)而表示出直線OP的斜率和AB的斜率利用二者相等求得b和c的關(guān)系進(jìn)而求得a和c的關(guān)系，則離心率可得．
（2）利用橢圓的定義可表示出|F_1Q|+|F_2Q|，進(jìn)而利用余弦定理表示出cos∠F₁QF₂，利用基本不等式可得cos∠F₁QF₂的范圍進(jìn)而求得∠F₁QF₂的范圍．
（3）設(shè)出直線MN的方程，代入橢圓方程消去x整理后利用韋達(dá)定理表示出y₁+y₂和y₁•y₂，進(jìn)而求得|y₁-y₂|代入三角形面積公式求得求得c，進(jìn)而可分別求得a和b，則橢圓的方程可得．

解答：解：（1）易得 P(-c，

b2

a

)，kOP=

b2

-ac

，kAB=-

b

a

，
∴-

b2

ac

=-

b

a

⇒b=c⇒a=

2

c，
∴e=

c

a

=

2

2

．
（2）證明：由橢圓定義得：|F₁Q|+|F₂Q|=2a，
所以cos∠F1QF2=

|F1Q|2+|F2Q|2-|F1F2|2

2|F1Q||F2Q|

=

4a2-4c2-2|F1Q||F2Q|

2|F1Q||F2Q|

=

2b2

|F1Q||F2Q|

-1，
因?yàn)?span id="0ocuqyo" class="MathJye">|F1Q||F2Q|≤(

|F1Q|+|F2Q|

2

)2=a2，
∴cos∠F1QF2≥

2b2

a2

-1=

2c2

2c2

-1=0，
∴∠F1QF2≤

π

2

．
（3）解：設(shè)直線MN的方程為 y=

a

b

（x+c），即y=

2

(x+c)．
代入橢圓方程消去x得：

(1- 1 2 y+c)2

a2

+

y2

b2

=1，
整理得：5y2-2

2

cy-2c2=0，
∴y1+y2=

2 2 c

5

，y1•y2=-

2c2

5

．
∴(y1-y2)2=(

2 2 c

5

)2+

8c2

5

=

48c2

25

．
因?yàn)?span id="skwawcs" class="MathJye">S△PF2Q=

1

2

•2c•|y1-y2|=

4 3 c2

5

=20

3

，
所以c²=25
因此a²=50，b²=25，
所以橢圓方程為

x2

50

+

y2

25

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一般的思路是將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理找突破口．考查了學(xué)生綜合分析問題和計(jì)算能力．