Question

（1）設橢圓C₁：與雙曲線C₂：有相同的焦點F₁、F₂，M是橢圓C₁與雙曲線C₂的公共點，且△MF₁F₂的周長為6，求橢圓C₁的方程；
我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
（2）如圖，已知“盾圓D”的方程為．設“盾圓D”上的任意一點M到F（1，0）的距離為d₁，M到直線l：x=3的距離為d₂，求證：d₁+d₂為定值；
（3）由拋物線弧E₁：y²=4x（0）與第（1）小題橢圓弧E₂：（）所合成的封閉曲線為“盾圓E”．設過點F（1，0）的直線與“盾圓E”交于A、B兩點，|FA|=r₁，|FB|=r₂且∠AFx=α（0≤α≤π），試用cosα表示r₁；并求的取值范圍．

Answer 1

（1）解：由△MF₁F₂的周長為6得2（a+c）=6，即a+c=3，
橢圓C₁與雙曲線C₂：有相同的焦點，所以c=1，所以a=2，b²=a²-c²=3，
橢圓C₁的方程為；
（2）證明：設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為（x，y），d₂=|x-3|．
當M∈C₁時，y²=4x（0≤x≤3），=|x+1|，
則d₁+d₂=|x+1|+|x-3|=（x+1）+（3-x）=4；
當M∈C₂時，y²=-12（x-4）（3＜x≤4），=|7-x|，
則d₁+d₂=|7-x|+|x-3|=（7-x）+（x-3）=4；
所以d₁+d₂=4為定值；
（3）顯然“盾圓E”由兩部分合成，所以按A在拋物線弧E₁或橢圓弧E₂上加以分類，由“盾圓E”的對稱性，不妨設A在x軸上方（或x軸上）：
當時，，此時r=，cosα=-；
當-≤cosα≤1時，A在橢圓弧E₂上，
由題設知A（1+r₁cosα，r₁sinα）代入得，3（1+r₁cosα）²+4-12=0，
整理得（4-cos²α）+6r₁cosα-9=0，
解得或（舍去）．
當-1≤cosα≤-時A在拋物線弧E₁上，
由方程或定義均可得到r₁=2+r₁cosα，于是，
綜上，（-1）或（-≤cosα≤1）；
相應地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），
當-1時A在拋物線弧E₁上，B在橢圓弧E₂上，
==∈[1，]；
當1時A在橢圓弧E₂上，B在拋物線弧E₁上，
•=∈[，1]；
當-時A、B在橢圓弧E₂上，
=∈（，）；
綜上的取值范圍是[，]．
分析：（1）由△MF₁F₂的周長為6得a+c=3，由橢圓與雙曲線共焦點可得c值，據平方關系可求得b；
（2）設“盾圓D”上的任意一點M的坐標為（x，y），d₂=|x-3|．分M∈C₁時，M∈C₂時兩種情況表示出d₁，再分別計算d₁+d₂即可求得定值；
（3）由“盾圓E”的對稱性，不妨設A在x軸上方（或x軸上），當時，，此時r=，cosα=-，分類討論：-≤cosα≤1時，A在橢圓弧E₂上，-1≤cosα≤-時A在拋物線弧E₁上，由條件可表示出此時r₁，相應地，B（1-r₂cosα，-r₂sinα），再按-1時A在拋物線弧E₁上，B在橢圓弧E₂上，當1時A在橢圓弧E₂上，B在拋物線弧E₁上，
當-時A、B在橢圓弧E₂上，利用三角函數性質分別求出的范圍即可．
點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系、兩點間距離公式及橢圓方程的求解，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，本題綜合性強，難度大，對能力要求高．