Question

若點集A={（x，y）|x²+y²≤1}，B={（x，y）|-1≤x≤1，-1≤y≤1}，設點集P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}，M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}，現向區域M內任投一點，則點落在區域P內的概率為（　　）

• A．

  π

  12+π

• B．

  π

  6+π

• C．

  π

  16

• D．

  π

  8

Answer 1

分析：先分析集合P表示的區域，將x=x₁+1，y=y₁+1轉化為x₁=x-1，y₁=y-1，結合集合A={（x，y）|x²+y²≤1}，可得P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的區域是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓，進而可得其面積；對于M表示的區域，分析A、B集合表示的區域，把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1，分析可得M表示的區域形狀即面積；根據幾何概型的公式，計算可得答案．

解答：解：根據題意，P={（x，y）|x=x₁+1，y=y₁+1，（x₁，y₁）∈A}
由（x₁，y₁）∈A，可得（x₁）²+（y₁）²≤1
而x₁=x-1，y₁=y-1，則（x-1）²+（y-1）²≤1
則P={（x，y）|（x-1）²+（y-1）²≤1}表示的區域是以（1，1）為圓心，半徑為1的圓，面積為π．
M={（x，y）|x=x₁+x₂，y=y₁+y₂，（x₁，y₁）∈A，（x₂，y₂）∈B}
A所表示的區域是以（0，0）為圓心，半徑為1的圓，
B所表示的區域是以（1，1）、（1，-1）、（-1，-1）、（-1，1）為頂點的正方形，
把x₁，y₁代入x²+y²≤1，可得（x-x₂）²+（y-y₂）²≤1
M所表示的區域是A的圓心在區域B的邊上移動，圓所覆蓋的區域，M的面積為12+π；
則向區域M內任投一點，則點落在區域P內的概率為

π

12+π

；
故選A．

點評：本題考查幾何概型的計算，關鍵在分析出集合P、M表示的區域的區域的形狀，難點是分析M表示的區域形狀．