Question

設命題p：f（x）=a^x是減函數，命題q：關于x的不等式x²+x+a＞0的解集為R，如果“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則實數a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：根據指數函數的性質及一元二次不等式恒成立的條件，我們可以分別求出命題p：f（x）=a^x是減函數，命題q：關于x的不等式x²+x+a＞0的解集為R，為真命題時，參數a的取值范圍，再由“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，得到p，q恰好一真一假，分類討論后，即可得到答案．

解答：解：若命題p：f（x）=a^x是減函數真命題，則0＜a＜1，
若命題q：關于x的不等式x²+x+a＞0的解集為R，為真命題，則1-4a＜0，則a＞

1

4

又∵“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，則p，q恰好一真一假
當命題p為真命題，命題q為假命題時，0＜a≤

1

4

；
當命題p為假命題，命題q為真命題時，a≥1
故滿足條件的實數a的取值范圍是(0，

1

4

]∪[1，∞)
故答案為：(0，

1

4

]∪[1，∞)

點評：復合命題p且q、p或q 的真假可記為：p且q 是一假即假；p或q 是一真即真．