Question

如圖：從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)上一點M向x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點F₁（-c，0），且

.

AB

∥

.

OM

，則a，b，c必滿足

b=c=

2

2

a

．

Answer 1

分析：根據MF₁⊥x軸算出|MF₁|=

b2

a

，由

.

AB

∥

.

OM

得到△ABO∽△OMF₁，利用比例線段得出b=c，再結合a²=b²+c²算出b=c=

2

2

a，從而得到本題的答案．

解答：解：∵MF₁⊥x軸，∴設M（-c，y₀），代入橢圓方程可得

c2

a2

+

y02

b2

=1，
因此y₀=

b2

a

（舍負），可得|MF₁|=

b2

a

∵

.

AB

∥

.

OM

，
∴△ABO∽△OMF₁，可得

|MF1|

|OB|

=

|OF1|

|AO|

，即

b2 a

b

=

c

a

解之得b=c，結合a²=b²+c²得b=c=

2

2

a
∴橢圓的離心率e=

c

a

=

2

2

故答案為：b=c=

2

2

a

點評：本題給出橢圓通徑的一端與原點連線平行于右頂點、上頂點的連線，求a、b、c滿足的關系式，著重考查了橢圓的標準方程與簡單幾何性質等知識，屬于基礎題．