Question

如圖，從橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞o）上一點P向x軸作垂線，垂足恰好為左焦點F₁，又點A是橢圓與x軸正半軸的交點，點B是橢圓與y軸正半軸的交點，且AB∥OP，則橢圓的離心率e=

2

2

．

Answer 1

分析：先計算PF₁的長，再利用兩直線平行得tan∠POF₁，最后在直角三角形POF₁中，找到a、b、c間的等式，從而求出離心率

解答：解：設F₁（-c，0），將x=-c代入

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），得y=±

b2

a

∴PF₁=

b2

a

，OF₁=c
∵AB∥OP，∴tan∠POF₁=tan∠BAO=

b

a

∴在直角三角形POF₁中，tan∠POF₁=

PF1

OF1

=

b2

ac

=

b

a

∴b=c，∴a=

2

c
∴e=

c

a

=

2

2

．
故答案為：

2

2

．

點評：本題考查了橢圓的幾何性質，橢圓離心率的求法，將已知幾何條件轉化為橢圓特征量a、b、c間的關系，是解決本題的關鍵．