Question

已知拋物線C的方程為，焦點為F，有一定點，A在拋物線準線上的射影為H，P為拋物線上一動點.
（1）當|AP|+|PF|取最小值時，求；
（2）如果一橢圓E以O、F為焦點，且過點A，求橢圓E的方程及右準線方程；
（3）設是過點A且垂直于x軸的直線，是否存在直線，使得與拋物線C交于兩個
不同的點M、N，且MN恰被平分？若存在，求出的傾斜角的范圍；若不存在，請
說明理由.

Answer 1

解：（1）由定義知，當P為AH與拋物線的交點時，|PF|=|PH|
此時|AP|+|PF|=|AH|取得最小值4………………4分
得………………6分
（2）由（1）知，橢圓E的焦點為O（0，0），F（2，0）
故中心為（1，0）.

所求橢圓方程為………………8分
右準線方程為………………10分
（3）由條件知，過A且與x軸垂直的直線
設滿足條件的直線存在，并設其方程為
代入………………①
與C交于不同的兩點M、N，故方程①的
………………12分
設

故直線存在，其傾斜角的取值范圍為…………14分

解析