Question

（2011•合肥三模）已知拋物線C的方程為x²=2py（p＞0），過拋物線上點M（-2

p

，p）作△MAB，A、B兩均在拋物線上．過M作x軸的平行線，交拋物線于點N．
（I）若MN平分∠AMB，求證：直線AB的斜率為定值；
（II）若直線AB的斜率為

p

，且點N到直線MA，MB的距離的和為4p，試判斷△MAB的形狀，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）由M(-2

p

，p)在x²=2py（p＞0）上可求P，可設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k，則直線MA的方程為y=kx+2

2

k+2，聯立

y=kx+2 2 k+2 x2=4y

可得x2-4kx-8

2

k-8=0，則xA=4k-xM=4k+2

2

同理可得，xB=2

2

-4k由KAB=

yA-yB

xA-xB

可求
（2）同（1）可知xA=4KMA+2

2

，xB=4KMB+2

2

，KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=KMA+KMB+

2

，由條件KAB=

2

知K_MA=-K_MB結合已知可得，K_MA•k_MB=-1，從而可判斷

解答：解：（1）∵M(-2

p

，p)在x²=2py（p＞0）上
∴4p=2p²，可得p=2
可設直線MA的斜率為k，則直線MB的斜率為-k
則直線MA的方程為y=kx+2

2

k+2
聯立

y=kx+2 2 k+2 x2=4y

可得x2-4kx-8

2

k-8=0
則x_M+x_A=4k即xA=4k-xM=4k+2

2

同理可得，xB=2

2

-4k
∴KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1 4 ( x 2 A - x 2 B )

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=

2

（2）同（1）可知xA=4KMA+2

2

，xB=4KMB+2

2

則KAB=

yA-yB

xA-xB

=

1

4

(xA+xB)=KMA+KMB+

2

，
由條件KAB=

2

知K_MA=-K_MB即直線MA、MB關于MN對稱
則點N(2

2

，2)到直線MA或MB的距離d=

4p

2

=4
由點到直線的距離公式可得k_MA²=k_MB²=1
∴K_MA•k_MB=-1∴∠AMB=

π

2

∴△MAB為Rt△

點評：本題考查拋物線性質的應用，直線與拋物線的位置關系的應用，方程的根與系數的關系的應用，直線的斜率公式的應用，綜合的知識較多，計算量較大，這也是圓錐曲線的常考的試題．