【題目】在如圖所示的幾何體中，四邊形
是菱形，
是矩形，
，
，
， 
，
為
的中點.
（1）平面
平面
（2）在線段
上是否存在點
，使二面角
的大小為
？若存在，求出
的長度；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）
【解析】
（1）由四邊形
為矩形，所以
，再由勾股定理，得到
，利用線面垂直的判定定理，證得
平面
，進而得到平面
平面
.
（2）建立空間直角坐標系
，求得平面
的法向量為
，又由平面
的法向量
，利用向量的夾角公式，即可求解，得到結論.
（1）證明：由題意知，四邊形為矩形，所以，
又∵四邊形
為菱形，
為
中點，
所以
，
，
，所以
，所以，
又
，所以平面，又
平面，
所以平面平面
（2）假設線段
上存在點
，使二面角
的大小為
，在上取一點，
連接
，
.
由于四邊形是菱形，且
，是的中點，可得
.
又四邊形
是矩形，平面
平面，∴
平面，
所以建立如圖所示的空間直角坐標系
則
，
，
，
，
則
，
，設平面的法向量為
，
則
，∴
，令
，則，
又平面的法向量，
所以
，解得
，
所以在線段上存在點，使二面角的大小為，此時.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為評估
設備生產某種零件的性能，從該設備生產零件的流水線上隨機抽取100件零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：
直徑/ | 78 | 79 | 81 | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 | 88 | 89 | 90 | 91 | 93 | 合計 |
件數 | 1 | 1 | 3 | 5 | 6 | 19 | 33 | 18 | 4 | 4 | 2 | 1 | 2 | 1 | 100 |
經計算，樣本的平均值
，標準差
，以頻率值作為概率的估計值.
（1）為評判一臺設備的性能，從該設備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為
，并根據以下不等式進行評判（
表示相應事件的頻率）：
①
；②
；③
，評判規則為：若同時滿足上述三個不等式，則設備等級為甲；僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部不滿足，則等級為丁.試判斷設備的性能等級.
（2）將直徑小于等于
的零件或直徑大于等于
的零件認定為是“次品”，將直徑小于等于
的零件或直徑大于等于
的零件認定為是“突變品”，從樣本的“次品”中隨意抽取2件零件，求“突變品”個數
的數學期望.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】橢圓
：
的左，右焦應分別是
，
，離心率為
，過且垂直于
軸的直線被橢圓截得的線段長為1.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知直線
：
與橢圓切于點
，直線
平行于
，與橢圓交于不同的兩點
、
，且與直線交于點
.證明：存在常數
，使得
，并求的值；
（3）點
是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接
，
，設
后的角平分線
交的長軸于點
，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系中，定義
為兩點
，
的“切比雪夫距離”，又設點
及
上任意一點
，稱
的最小值為點到直線的“切比雪夫距離”，記作
，給出下列三個命題：
①對任意三點
、
、
，都有
；
②已知點
和直線：
，則
；
③到定點
的距離和到的“切比雪夫距離”相等的點的軌跡是正方形.
其中正確的命題有（ ）
A.0個B.1個C.2個D.3個
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，四個點
，
，
，
中有3個點在橢圓
：
上.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過原點的直線與橢圓交于
，
兩點（，不是橢圓的頂點），點
在橢圓上，且
，直線
與
軸、
軸分別交于
、
兩點，設直線
，
的斜率分別為
，
，證明：存在常數
使得
，并求出的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面ABCD是直角梯形，側棱
底面ABCD，AB垂直于AD和BC，
，且
.M是棱SB的中點.
（Ⅰ）求證：
面SCD；
（Ⅱ）求二面角
的余弦值；
（Ⅲ）設點N是直線CD上的動點，MN與面SAB所成的角為
，求
的最大值.
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