Question

由某種設備的使用年限x_i（年）與所支出的維修費y_i（萬元）的數據資料，算得

5

i=1

x

2 i

=90，

5

i=1

xiyi=112，

5

i=1

xi=20，

5

i=1

yi=25．
（Ⅰ）求所支出的維修費y對使用年限x的線性回歸方程y=bx+a；
（Ⅱ）判斷變量x與y之間是正相關還是負相關；
（Ⅲ）估計使用年限為8年時，支出的維修費約是多少．
附：在線性回歸方程y=bx+a中，b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n -2 x

，a=

.

y

-b

.

x

，其中

.

x

，

.

y

為樣本平均值，線性回歸方程也可寫為

y

=

b

x+

a

．

Answer 1

分析：（I）利用公式求得

.

x

，

.

y

代入系數公式可得a，b的值，從而求得回歸方程；
（II）根據系數b＞0可得變量x與y之間是正相關；
（III）根據回歸方程代入x=8，求得y值，即為估計支出的維修費數額．

解答：解：（Ⅰ）∵

5

i=1

x_i=20，

5

j=1

y_j=25，∴

.

x

=4，

.

y

=5．
∴b=

n i=1 xiyi-n . x . y

n i=1 x 2 i -n -2 x

=

112-5×4×5

90-5×42

=1.2，
a=

.

y

-b

.

x

=5-1.2×4=0.2，
∴線性回歸方程y=1.2x+0.2．            
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=1.2＞0，
∴變量x與y之間是正相關．              
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，當x=8時，y=1.2×8+0.2=9.8（萬元），
即估計使用年限為8年時，支出的維修費約是9.8萬元．

點評：本題考查了回歸分析思想，利用數據求系數a、b的值是關鍵．