Question

已知函數f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）的定義域為R，它的圖象關于原點對稱，且當x=-1時，函數取極值1．
（1）求a，b，c的值；
（2）求證：曲線y=f（x）上不存在兩個不同的點A、B，使過A、B兩點的切線都垂直于直線AB．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過圖象關于原點對稱求出b的值，再根據當x=-1時，函數取極值1，建立兩個方程組，解之即可；
（2）由過A、B兩點的切線都垂直于直線AB可知兩切線平行，根據切線與AB垂直建立等量關系，驗證判別式是否大于零即可．
解答：解：（1）由已知，f（-x）=-f（x），即bx²=0恒成立，
故b=0．所以f（x）=ax³+cx，f′（x）=3ax²+c．
由得，
解得．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）（x₁≠x₂），
由，過A、B兩點的切線平行，故f′（x₁）=f′（x₂），
得：x₁²=x₂²．由于x₁≠x₂，所以x₁=-x₂，
于是y₁=-y₂，．因為過A點的切線垂直于直線AB，
所以，△=-12＜0，方程無解．
因此，不存在兩個不同的點A、B，使過A、B的切線都垂直于直線AB．
點評：本題主要考查了利用導數研究函數的極值，考查利用數學知識分析問題、解決問題的能力，屬于基礎題．