Question

【題目】已知橢圓的右焦點(diǎn)到直線的距離為，在橢圓上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若過(guò)作兩條互相垂直的直線，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，是與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)，分別是線段的中點(diǎn)試，判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)？若過(guò)定點(diǎn)求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn)

【解析】

（1）由題意得，求出，即可求出橢圓方程；

（2）設(shè)直線的方程為，①當(dāng)時(shí)，聯(lián)立方程組，化簡(jiǎn)可得

，進(jìn)而求出，同理可得，進(jìn)而求出，求出直線的方程，求出必過(guò)的定點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，易知直線過(guò)定點(diǎn)；綜上即可求出結(jié)果.

解：（1）由題意得，∴，

∴橢圓的方程為；

（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，

①當(dāng)時(shí)，由，得，

∴，∴

同理，由，可得

∴直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)；

②當(dāng)時(shí)，則直線的方程為，

∴直線過(guò)定點(diǎn)

綜上，直線過(guò)定點(diǎn)