Question

【題目】設函數f（x）= ，其中a∈R．
（1）若a=1，f（x）的定義域為區間[0，3]，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）的定義域為區間（0，+∞），求a的取值范圍，使f（x）在定義域內是單調減函數．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）= = =a﹣ ，

設x1，x2∈R，則f（x1）﹣f（x2）= ﹣

= ．

當a=1時，f（x）=1﹣ ，設0≤x1＜x2≤3，

則f（x1）﹣f（x2）= ，

又x1﹣x2＜0，x1+1＞0，x2+1＞0，

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2）．

∴f（x）在[0，3]上是增函數，

∴f（x）max=f（3）=1﹣ = ，f（x）min=f（0）=1﹣ =﹣1

（2）解：設x1＞x2＞0，則x1﹣x2＞0，x1+1＞0，x2+1＞0．

若使f（x）在（0，+∞）上是減函數，只要f（x1）﹣f（x2）＜0，而f（x1）﹣f（x2）= ，

∴當a+1＜0，即a＜﹣1時，有f（x1）﹣f（x2）＜0，

∴f（x1）＜f（x2）．

∴當a＜﹣1時，f（x）在定義域（0，+∞）內是單調減函數

【解析】由于本題兩個小題都涉及到函數的單調性的判斷，故可先設x1 ， x2∈R，得到f（x1）﹣f（x2）差，將其整理成幾個因子的乘積（1）將a=1的值代入，判斷差的符號得出函數的單調性，即可確定函數在區間[0，3]的最大值，計算出結果即可（2）由于函數是定義域（0，+∞）是減函數，設x1＞x2＞0，則有f（x1）﹣f（x2）＜0，由此不等式即可得出參數的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了函數的值域和函數單調性的性質的相關知識點，需要掌握求函數值域的方法和求函數最值的常用方法基本上是相同的．事實上，如果在函數的值域中存在一個最小（大）數，這個數就是函數的最小（大）值．因此求函數的最值與值域，其實質是相同的；函數的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其并集才能正確解答此題．