Question

如圖：已知BB₁，CC₁是Rt△ABC所在平面同側的兩條相等的斜線段，它們與平面ABC所成的角均為60^°，且BB₁∥CC₁，線段BB₁的端點B₁在平面ABC的射影M恰是BC的中點，已知BC=2，∠ACB=90°
①求異面直線AB₁與BC₁所成的角．
②若二面角A-BB₁-C的大小為30°，求三棱錐C₁-ABC的體積．
③在②的條件下，求直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角正切值．

Answer 1

分析：（1）觀察圖形，易得AC⊥平面B₁BCC₁，又∵BC₁⊥AB₁，∴AB₁與BC₁成90⁰的角．
（2）根據二面角的大小，將其轉化成對應的平面角，進而可知：AC=1，則體積也可以求得了．
（3）本題遞進式的，在②的條件下，直線AB₁與平面BCC₁B₁所成角即為∠AB₁C．

解答：解：（1）AC⊥平面B₁BCC₁，
由于四邊形BCC₁B₁為菱形∴BC₁⊥B₁C∴BC₁⊥AB₁
∴AB₁與BC₁成90⁰的角
（2）取BB₁的中點D，連CD，則CD⊥BB₁
∴AD⊥BB₁∴∠ADC為二面角A-BB₁-C的平面角即∠ADC=30°
∴AC=1∴VC1-ABC=VA-BCC1=

1

3

S△BCC1•AC=

3

3

（3）∠AB₁C為直線AB₁與平面BCC₁B₁所成的角，其正切值為

1

2

點評：本小題主要考查空間線面關系、面面關系、二面角的度量、幾何體的體積等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．