Question

如圖，已知A，B，C為不在同一直線上的三點，且AA₁∥BB₁∥CC₁，AA₁=BB₁=CC₁．
（1）求證：平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）若AA₁⊥平面ABC，且AC=AA₁=4，BC=3，AB=5，求證：A₁C丄平面AB₁C₁
（3）在（2）的條件下，設點P為CC₁上的動點，求當PA+PB₁取得最小值時PC的長．

Answer 1

分析：（1）利用線面平行的判定定理證明AC∥平面A₁B₁C₁，BC∥平面A₁B₁C₁，利用面面平行的判定定理證明平面ABC∥平面A₁B₁C₁；
（2）證明A₁C丄平面AB₁C₁，只需證明B₁C₁⊥A₁C，A₁C⊥AC₁；
（3）利用展開圖，連結AB₁交CC₁于點P，則由平面幾何的知識知，這時PA+PB₁取得最小值．

解答：（1）證明：∵AA₁∥CC₁且AA₁=CC₁
∴四邊形ACC₁A₁是平行四邊形，（1分）
∴AC∥A₁C₁，
∵AC?面A₁B₁C₁，A₁C₁?面A₁B₁C₁
∴AC∥平面A₁B₁C₁，（3分）
同理可得BC∥平面A₁B₁C₁，
又AC∩CB=C，
∴平面ABC∥平面A₁B₁C₁（4分）
（2）證明：∵AA₁⊥平面ABC，AA₁?平面ACC₁A₁，∴平面ACC₁A₁⊥平面ABC，（5分）
∵AC=4，BC=3，AB=5，∴AC²+BC²=AB²，∴BC⊥AC （6分）
∵平面ACC₁A₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面ACC₁A₁，（7分）
∴BC⊥A₁C，
∵BC∥B₁C₁，∴B₁C₁⊥A₁C
又AA₁⊥AC，AC=AA₁，得ACC₁A₁為正方形，∴A₁C⊥AC₁（8分）
又AC₁∩B₁C₁=C₁，
∴A₁C丄平面AB₁C₁（9分）
（3）解：將三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面ACC₁A₁繞側棱CC₁旋轉到與側面BCC₁B₁在同一平面內如圖示，
連結AB₁交CC₁于點P，則由平面幾何的知識知，這時PA+PB₁取得最小值，（12分）
∵PC∥BB₁
∴

PC

BB1

=

AC

AB

⇒PC=

AC•BB1

AB

=

16

7

．（14分）

點評：本題考查線面、面面平行，考查線面垂直，考查側面展開圖的運用，考查學生推理論證的能力，屬于中檔題．