Question

在△ABC中，內角A，B，C對邊分別是a，b，c，已知c=1．
（1）若C=

π

6

，cos（θ+C）=

3

5

，0＜θ＜π，求cosθ；
（2）若C=

π

3

，sinC+sin（A-B）=3sin2B，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）先計算sin（θ+

π

6

），根據cosθ=cos[（θ+

π

6

）-

π

6

]，利用差角的余弦公式，即可求cosθ；
（2）根據sinC+sin（A-B）=3sin2B，可得B=

π

2

或a=3b，再分類討論，即可求△ABC的面積．

解答：解：（1）∵C=

π

6

，cos（θ+C）=

3

5

，0＜θ＜π，
∴sin（θ+

π

6

）=

1- 9 25

=

4

5

∴cosθ=cos[（θ+

π

6

）-

π

6

]=cos（θ+

π

6

）cos

π

6

+sin（θ+

π

6

）sin

π

6

=

3 3 +4

10

；
（2）∵sinC+sin（A-B）=3sin2B，
∴sin（A+B）+sin（A-B）=6sinBcosB，
∴2sinAcosB=6sinBcosB，
∴cosB=0或sinA=3sinB，
∴B=

π

2

或a=3b，
若B=

π

2

，C=

π

3

，則S=

1

2

c•c•tanA=

3

6

；
若a=3b，C=

π

3

，則由余弦定理得a²+b²-ab=1
∴b2=

1

7

，
∴S=

1

2

absinC=

3

28

3

．

點評：本題考查三角恒等變換，考查三角函數的化簡，考查三角形面積的計算，屬于中檔題．