Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）

【解析】

（I）取的中點，連結，，通過證明四邊形是平行四邊形證得，由此證得平面.（II）以為原點，以、分別為軸，軸，建立空間直角坐標系，通過計算平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值．

證明：（Ⅰ）取的中點，連結，，

∵是棱的中點，∴，且，

∵，，，

∴，，

∴四邊形是平行四邊形，∴，

∵平面，平面，

∴平面．

解：（Ⅱ）以為原點，以、分別為軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則，，，，，，

，，，

設是平面的一個法向量，

由，即，令，得，

設是平面的法向量，

由，即，令，得，

，

∵二面角的平面角為鈍角，∴二面角的余弦值為．