Question

已知是過點的兩條互相垂直的直線，且與雙曲線各兩個交點，分別為和．

（1）求的斜率的取值范圍；     （2）若，求的方程．

Answer 1

（1）  

（2）時，：：；

時，：：

解析:

（1）依題設，的斜率都存在，因為過點且與雙曲線有兩具交點，故方程組

                  ①

       有兩組不同實根，在方程①中消去，整理得

                        ②

       若，則方程組①只有一個解，即與雙曲線只有一個交點，與題設矛盾．故即．方程②的判別式為

              ．

       設的斜率為，因為過點且與雙曲線有兩個交點，故方程組

      ③

有兩個不同的解．在方程組③中消去，整理得

                 ④

類似前面的討論，有．

因為，所以，于是，與雙曲線各有兩個交點，等價于下列混合組成立

，解得．

故．

（2）設，則（1）的解答中方程②知

      

所以

              　              ⑤

同理可得              ⑥

由，得．

將⑤，⑥代入上式得，

解得       ．

取時，：：；

即時，：：．