Question

已知a_n=2n-1，數列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=

1

Sn

，數列{b_n}的前n項和為T_n，求證：對一切自然數n，恒有T_n＜2．

Answer 1

分析：根據a_n的通項公式求出S_n的通項公式，最后得到b_n的通項以及前n項和T_n的通項，然后利用

1

n2

＜

1

n(n-1)

，(n≥2)．得到T_n＜2．

解答：解：根據a_n=2n-1，數列{a_n}的前n項和為S_n，b_n=

1

Sn

可知，當n=1時，b₁=

1

S1

=

1

a1

=1；n=2時，b₂=

1

S2

=

1

a1+a2

=

1

4

；
當n=3時，b₃=

1

S3

=

1

a1+a2+a3

=

1

9

，…，b_n=

1

Sn

=

1

a1+a2+…+an

=

1

n2

；
因為

1

n2

＜

1

n(n-1)

，(n≥2)
所以T_n=1+

1

2×2

+

1

3×3

+…+

1

n•n

＜1+

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n

=2-

1

n

＜2．

點評：考查學生會根據條件找出數列的通項公式及求和公式，會根據變換不等式的方法證明不等式．