Question

（2012•韶關二模）已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，a₁=1，且S₁，2S₂，3S₃成等差數列．
（1）求數列{a_n}通項公式；
（2）設b_n=a_n+n，求數列{b_n}前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）設出等比數列{a_n}的公比為q，若q為1，由首項a₁，利用等比數列的求和公式分別表示出S₁，2S₂，3S₃，得到S₁，2S₂，3S₃不成等差數列，矛盾，故q不為1，利用等比數列的求和公式分別表示出S₁，2S₂，3S₃，根據S₁，2S₂，3S₃成等差數列，利用等差數列的性質列出關于q的方程，求出方程的解得到q的值，首項a₁及q的值，利用等比數列的通項公式即可得到數列{a_n}通項公式；
（2）將第一問得出的數列{a_n}通項公式代入b_n=a_n+n中，得到數列{b_n}的通項公式，列舉出數列{b_n}前n項和T_n的每一項，結合后根據數列{a_n}的前n項和S_n以及等差數列的求和公式進行變形，即可表示出數列{b_n}前n項和T_n．

解答：解：（1）設數列{a_n}的公比為q，…（1分）
若q=1，則S₁=a₁=1，2S₂=4a₁=4，3S₃=9a₁=9，故S₁+3S₃=10≠2×2S₂，與已知矛盾，故q≠1，…（2分）
∴S_n=

a1(1-qn)

1-q

=

1-qn

1-q

，…（4分）
由S₁，2S₂，3S₃成等差數列，得S₁+3S₃=2×2S₂，
即1+3×

1-q3

1-q

=4×

1-q2

1-q

，
解得：q=

1

3

，…（5分）
則a_n=a₁•q^n-1=（

1

3

）^n-1；…（6分）
（2）由（1）得，b_n=a_n+n=（

1

3

）^n-1+n，…（7分）
所以T_n=（a₁+1）+（a₂+2）+…+（a_n+n）
=S_n+（1+2+…+n）=

a1(1-qn)

1-q

+

(1+n)n

2

…（10分）
=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

+

(1+n)n

2

=

3+n+n2-3n-1

2

．…（12分）

點評：此題考查了等差數列的性質，等差數列的前n項和公式，等比數列的通項公式，以及等比數列的前n項和公式，熟練掌握公式及性質是解本題的關鍵．