Question

（2012•韶關二模）定義符號函數sgnx=

1，x＞0 0，x=0 -1，x＜0

，設f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x），x∈[0，1]，若f₁（x）=x+

1

2

，f₂（x）=2（1-x），則f（x）的最大值等于（　　）

• A．2
• B．1
• C．

  3

  4

• D．

  1

  2

Answer 1

分析：分三種情況討論：當x=

1

2

時，則符號函數的定義結合已知函數表達式，得到f（x）=

5

4

-

1

2

x，代入x=

1

2

，得f（

1

2

）=1；當x＞

1

2

時，同理得到f（x）=f₂（x）=2（1-x），在區間（

1

2

，+∞）內是減函數，得到f（x）＜1恒成立；當x＜

1

2

時，f（x）=f₁（x）=x+

1

2

，在區間（-∞，

1

2

）內是增函數，所以f（x）＜1恒成立．綜合可得f（x）的最大值等于1，得到正確選項．

解答：解：①當x=

1

2

時，sgn(x-

1

2

)=sgn(

1

2

-x)=0，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=

1

2

f₁（x）+

1

2

f₂（x），
∵f₁（x）=x+

1

2

，f₂（x）=2（1-x），
∴f（x）=

1

2

x+

1

4

+（1-x）=

5

4

-

1

2

x
代入x=

1

2

，得f（

1

2

）=1；
②當x＞

1

2

時，sgn(x-

1

2

)=1，sgn(

1

2

-x)=-1，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=f₂（x）
∴f（x）=2（1-x），在區間（

1

2

，+∞）內是減函數，所以f（x）＜2（1-

1

2

）=1恒成立；
③當x＜

1

2

時，sgn(x-

1

2

)=-1，sgn(

1

2

-x)=1，
因此f（x）=

sgn( 1 2 -x)+1

2

•f₁（x）+

sgn( x- 1 2 )+1

2

•f₂（x）=f₁（x），
∴f（x）=x+

1

2

，在區間（-∞，

1

2

）內是增函數，所以f（x）＜

1

2

+

1

2

=1恒成立．
綜上所述，則f（x）的最大值等于1．
故選B

點評：本題給出一個含有符號函數的綜合式為例，以求函數的最大值為載體，考查了函數的單調性與最值等知識點，屬于中檔題．