Question

       如圖，在四面體PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC,點(diǎn)D,E,F,G分別是棱AP,AC,BC,PB的中點(diǎn).

       （Ⅰ）求證：DE∥平面BCP；             

       （Ⅱ）求證：四邊形DEFG為矩形；

       （Ⅲ）是否存在點(diǎn)Q，到四面體PABC六條棱的中點(diǎn)的距離相等？說明理由.

Answer 1

證明：（Ⅰ）因?yàn)镈，E分別為AP，AC的中點(diǎn)，

所以DE//PC。

又因?yàn)镈E平面BCP，

所以DE//平面BCP。

（Ⅱ）因?yàn)镈，E，F(xiàn)，G分別為

AP，AC，BC，PB的中點(diǎn)，

所以DE//PC//FG，DG//AB//EF。

所以四邊形DEFG為平行四邊形，

又因?yàn)镻C⊥AB，

所以DE⊥DG，

所以四邊形DEFG為矩形。

（Ⅲ）存在點(diǎn)Q滿足條件，理由如下：

連接DF，EG，設(shè)Q為EG的中點(diǎn)

由（Ⅱ）知，DF∩EG=Q，且QD=QE=QF=QG=EG.

分別取PC，AB的中點(diǎn)M，N，連接ME，EN，NG，MG，MN。

與（Ⅱ）同理，可證四邊形MENG為矩形，其對(duì)角線點(diǎn)為EG的中點(diǎn)Q，

且QM=QN=EG，

所以Q為滿足條件的點(diǎn).