Question

如圖所示，在矩形ABCD中，AD=2AB=2，點E是AD的中點，將△DEC沿CE折起到△D′EC的位置，使二面角D′-EC-B是直二面角．
（1）證明：BE⊥C D′；
（2）求二面角D′-BC-E的正切值．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證BE⊥CD′，先證BE⊥面D′EC，欲證線面垂直先證線線垂直，根據線面垂直的判定定理可證得；
（2）先以EB，EC為x、y軸，過E垂直平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系，設出平面D′BC的法向量，求出兩平面的法向量的所成角的余弦值，再求出其正切值．
解答：解：（1）∵AD=2AB=2，E是AD的中點，
∴△BAE，△CDE是等腰直角三角形，
易知，∠BEC=90°，即BE⊥EC．
又∵平面D′EC⊥平面BEC，面D′EC∩面BEC=EC，
∴BE⊥面D′EC，又CD′?面D′EC，
∴BE⊥CD′．
（2）如圖以EB，EC為x、y軸，過E垂直平面BEC的射線為z軸，建立空間直角坐標系．
則B（，0，0），C（0，，0），D′（0，，），，
設平面BEC的法向量為，平面D′BC的法向量為，，
取，
∴．
tan＜，＞=，
∴二面角D′-BC-E的正切值為．
點評：本題主要考查了平面與平面之間的位置關系，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力，屬于基礎題．