Question

等差數列{a_n} 的前n項的和為S_n，且S₅=45，S₆=60．
（1）求{a_n} 的通項公式；
（2）若數列{b_n} 滿足b_n-b_n=a_n-1（n∉N^*），且b₁=3，設數列{

1

bn

}的前n項和為T_n．求證：T_n＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）a₆=S₆-S₅=15，由S6=

(a1+a6)×6

2

=60，解得a₁=5，再由d=

a6-a1

6-1

=2，能求出{a_n} 的通項公式．
（2）由b₂-b₁=a₁，b₃-b₂=a₂，b₄-b₃=a₃，…，b_n-b_n-1=a_n-1，疊加得bn-b1=

(a1+an-1)(n-1)

2

=

(5+2n+1)(n-1)

2

，所以bn=n2+2n.

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

[

1

n

-

1

n+2

]，由裂項求和法能夠證明T_n＜

3

4

．

解答：（1）解：a₆=S₆-S₅=15，由S6=

(a1+a6)×6

2

=60，
解得a₁=5，又∵d=

a6-a1

6-1

=2，
所以a_n=2n+3．…4
（2）證明：∵b₂-b₁=a₁，
b₃-b₂=a₂，
b₄-b₃=a₃，
…
b_n-b_n-1=a_n-1，
疊加得bn-b1=

(a1+an-1)(n-1)

2

=

(5+2n+1)(n-1)

2

，
所以bn=n2+2n．…（9分）

∴

1

bn

=

1

n2+2n

=

1

2

[

1

n

-

1

n+2

]，
∴Tn=

1

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

)
=

1

2

(

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．…（12分）

點評：本題考查數列通項公式和數列前n項和的求法，證明T_n＜

3

4

．解題時要認真審題，注意等差數列通項公式的應用和裂項求和法的靈活運用．