Question

已知雙曲線的一條漸近線方程是，它的一個焦點在拋物線的準線上，點是雙曲線右支上相異兩點，且滿足為線段的中點，直線的斜率為

（1）求雙曲線的方程；

（2）用表示點的坐標；

（3）若，的中垂線交軸于點，直線交軸于點，求的面積的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）

【解析】

試題分析：（1）求雙曲線的標準方程只需找到兩個關于的兩個等式，通過解方程即可得到的值，從而得到雙曲線方程.

（2）由直線AB的方程與雙曲線方程聯立，消去y可得關于x的一個一元二次方程，判別式必須滿足大于零，再由韋達定理可表示出點D的坐標，又根據即可用k表示點D的縱坐標.從而可求出點D的坐標.

（3）的中垂線交軸于點，直線交軸于點求的面積.通過直線AB可以求出點N的坐標，又由線段AB的中垂線及中點D的坐標，可以寫出中垂線的方程，再令y=0，即可求出點M.以MN長為底邊，高為點D的縱坐標，即可求出面積的表達式.再用最值的求法可得結論.

試題解析：（1）

雙曲線的方程為；

（2）方法一：

設直線的方程為代入方程得

當時記兩個實數根為

則

∴的方程為把代入得

下求的取值范圍：法一：由得即

而所以化簡得

法二：在中令得

即所以

再結合 得 ；

方法二：兩式相減得

（3）由（2）可知方程中令得

設點的坐標為由得

∴

考點：1.雙曲線的性質.2.直線與雙曲線的位置關系.3.三角形的面積的求法.4.最值的求法.