Question

在直角坐標坐標系中，已知一個圓心在坐標原點，半徑為2的圓，從這個圓上任意一點P向y軸作垂線段PP′，P′為垂足，
（1）求線段PP′中點M的軌跡C的方程；
（2）過點Q（-2，0）作直線l與曲線C交于A、B兩點，設N是過點（，0），且以為方向向量的直線上一動點，滿足（O為坐標原點），問是否存在這樣的直線l，使得四邊形OANB為矩形？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由。

Answer 1

解：（1）設M（x，y）是所求曲線上的任意一點，
P（）是方程的圓上的任意一點，則，
則有：，即，
代入得，軌跡C 的方程為；
（2）當直線l的斜率不存在時，與橢圓無交點，
所以設直線l的方程為y=k（x+2），與橢圓交于兩點，
N點所在直線方程為，
由得（4＋），
由∴，
即，    
，
，即，
∴四邊形OANB為平行四邊形，
假設存在矩形OANB，
則，即，
即，
于是有，得，
設N（），由得，
即點N在直線x＝－上；
∴存在直線l使四邊形OANB為矩形，直線l的方程為。