Question

（本小題滿分10分）
用平行于四面體的一組對棱、的平面截此四面體(如圖）.
（1）求證：所得截面是平行四邊形；
（2）如果.求證：四邊形的周長為定值.

Answer 1

解：(1)∵AB∥平面MNPQ.
平面ABC∩平面MNPQ=MN.
且AB平面ABC.
∴由線面平行的性質定理知，AB∥MN.
同理可得PQ∥AB.                                        …………3分
∴由平行公理可知MN∥PQ.
同理可得MQ∥NP.
∴截面四邊形MNPQ為平行四邊形.                            …………5分
(2)∵由(1)可知MN∥AB.∴.
∵MN=λAB=λa,MC=λAC.                                     …………7分
又∵MG∥CD,∴.
∴MQ=·CD=(1-λ)a,            …………9分
∴MN+MQ=λa+(1-λ)a=a.
∴平行四邊形MNPQ的周長2(MN+MQ)=2a定值.               …………10分

略