Question

雙曲線E經過點A（4，6），對稱軸為坐標軸，焦點F₁，F₂在X軸上，離心率e=2．
（1）求雙曲線E的方程；
（2）求∠F₁AF₂的角平分線所在直線的方程．

Answer 1

解：依題意，可設雙曲線方程為，（a＞0，b＞0），c²=a²+b²（c＞0）
（1）由A在曲線上得，∴
∴E的方程為
（2）由（1）知，c=4，設F₁（-4，0），F₂（4，0），
∵A（4，6），∴AF₂⊥x軸
設∠F₁AF₂的角平分線交x軸于點M（m，0）
由角平分線的性質可知
即，∴m=1
∴M（1，0）
故所求直線方程為，即y=2x-2
分析：（1）根據題意先設雙曲線方程，利用雙曲線E經過點A（4，6），離心率e=2，可求雙曲線E的方程；
（2）利用角平分線的性質可求∠F₁AF₂的角平分線交x軸點M的坐標，從而可求直線方程．
點評：本題的考點是雙曲線的簡單性質，解題的關鍵是待定系數法，考查直線方程的求解，關鍵是理解角平分線的性質．