Question

已知離心率為的橢圓的頂點(diǎn)恰好是雙曲線的左右焦點(diǎn)，點(diǎn)是橢圓上不同于的任意一點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為.
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）當(dāng)，在焦點(diǎn)在軸上的橢圓上求一點(diǎn)Q，使該點(diǎn)到直線（的距離最大。
（3）試判斷乘積“（”的值是否與點(diǎn)（的位置有關(guān)，并證明你的結(jié)論；

Answer 1

(1)（或（；(2) （；(3) 的值與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)

解析試題分析：（1）注意要分類討論，頂點(diǎn)是短軸頂點(diǎn)，還是長(zhǎng)軸頂點(diǎn)；(2)橢圓上到（距離最大的點(diǎn)是與直線（平行且與橢圓相切的點(diǎn)；（3）利用點(diǎn)P在橢圓上滿足橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)，帶入橢圓方程，通過(guò)變形，即可知（=，與k無(wú)關(guān).
試題解析：（1）雙曲線（的左右焦點(diǎn)為（,即（的坐標(biāo)分別為（.  所以設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（,則（,
且（,所以（,從而（,
所以橢圓（的標(biāo)準(zhǔn)方程為（或（
(2) 當(dāng)（時(shí)，（，故直線（的方程為（即（，
設(shè)與（平行的直線方程為：x+2y+m=0，即x=-2y-m，代入橢圓方程得：，
 ，∵求距離最大，∴，代入方程，解得：，∴點(diǎn)Q（；
（3）設(shè)則，即 
.所以的值與點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)，恒為.
考點(diǎn)：（1）橢圓雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.