Question

設等差數列前n 項和為S_n，若Sm=

m

n

，Sn=

n

m

(m，n∈N* 且m≠n），則S_m+n 與4 的大小關系是（　　）

• A、S_m+n＞4
• B、S_m+n=4
• C、S_m+n＜4
• D、與m，n的取值有關

Answer 1

分析：分別利用等差數列的前n項和的公式表示出Sn，Sm及Sm+n，然后將Sn=nm和Sm=mn的值代入Sm+n，化簡后，根據m，n為正整數且m不等于n，取最小m=1，n=2，求出此時公差d的值，即可得到Sm+n的最小值，求出的最小值大于4，得到正確答案．

解答：解：設等差數列的公差為d，
sn=

(a1+an)•n

2

=

n•(2a1+(n-1)d)

2

=

n

m

，，
同理sm=

m•[2a1+(m-1)d]

2

=

m

n

，
sm+n= 

(m+n)(2a1+(m+n-1)d)

2

=

m[2a1+(m+n-1)d]

2

+

n[2a1+(m+n-1)d]

2

    
=

n[2a1+(n-1)d]

2

+

m[2a1+(m-1)d]

2

+mnd
=

n

m

+

m

n

+mnd，
因為m，n為正整數，且m≠n，令n＞m，m=1，n=2，
將m=1，n=2代入Sn中得到2a₁+d=2；代入Sm中得到a1=

1

2

，
解得d=1，
則Sm+n＞2+

1

2

+2＞4．排除B、C、D．
故選A．

點評：此題考查學生靈活運用等差數列的前n項和的公式化簡求值，是一道中檔題．