Question

【題目】橢圓C：+=1（a＞b＞0）的短軸兩端點(diǎn)為B1（0，﹣1）、B2（0，1），離心率e=，點(diǎn)P是橢圓C上不在坐標(biāo)軸上的任意一點(diǎn)，直線B1P和B2P分別與x軸相交于M，N兩點(diǎn)，

（1）求橢圓的方程和的值;

（2）若點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），過點(diǎn)的直線與橢圓相交于兩點(diǎn),試求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由b=1，離心率e，結(jié)合a2﹣b2=c2，求得a和b的值，可得橢圓方程，設(shè)點(diǎn)P（x0，y0），則直線B1P方程為y=x﹣1，y=0，得xM=，同理可得xN=，即可得解；

（2）設(shè)直線AB的方程為x=ty+1，代入橢圓方程，由韋達(dá)定理求得丨y1﹣y2丨=，S=丨MN丨丨y1﹣y2丨，由函數(shù)的單調(diào)性即可求得△ABN面積的最大值．

解：（1）由 、,知,

又,所以,

則,所以橢圓的方程為,

設(shè)點(diǎn),則直線方程為,

令得,

同理可得,.

（2）當(dāng)點(diǎn) 坐標(biāo)為時(shí),點(diǎn),,

設(shè)直線的方程為,,,

代入方程得,則

,

,

因?yàn)?/span>,所以,

因此當(dāng),即直線的方程為時(shí),

面積的最大值是.