Question

已知橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，過右焦點F且斜率為

2

的直線l交橢圓E于兩點A，B，若以原點為圓心，

6

3

為半徑的圓與直線l相切
（1）求焦點F的坐標；
（2）以OA，OB為鄰邊的平行四邊形OACB中，頂點C也在橢圓E上，求橢圓E的方程．

Answer 1

（1）F（c，0），直線l的方程為y=

2

(x-c)
則

6

3

=

| 2 c|

3

，所以c=1，所以F（1，0）；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），
由已知

OC

=

OA

+

OB

得：x₃=x₁+x₂，y₃=y₁+y₂，
由

y= 2 (x-1) b2x2+a2y2=a2b2

⇒(b2+2a2)x2-4a2x+2a2-a2b2=0，
所以

x1+x2= 4a2 b2+2a2 y1+y2= 2 (x1+x2-2)= -2 2 b2 b2+2a2

，即

x3= 4a2 b2+2a2 y3= 2 (x1+x2-2)= -2 2 b2 b2+2a2

，
點C在橢圓上，所以

( 4a2 b2+2a2 )2

a2

+

( -2 2 b2 b2+2a2 )2

b2

=1，
整理得：16a²+8b²=（2a²+b²）²，
由

2a2+b2=8 a2=1+b2

⇒

a2=3 b2=2

，
所以橢圓方程為

x2

3

+

y2

2

=1．