Question

已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上．若橢圓上的點A(1，

3

2

)到焦點F₁、F₂的距離之和等于4．
（1）寫出橢圓C的方程和焦點坐標．
（2）過點Q（1，0）的直線與橢圓交于兩點M、N，當△OMN的面積取得最大值時，求直線MN的方程．

Answer 1

（1）設橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）
∵橢圓上的點A(1，

3

2

)到焦點F₁、F₂的距離之和等于4，
∴

2a=4 1 a2 + 3 4 b2 =1

，
∴a=2，b=1
∴c=

a2-b2

=

3

∴橢圓C的方程為

x2

4

+y2=1，焦點坐標為(-

3

，0)，(

3

，0)；
（2）MN斜率不為0，設MN方程為x=my+1．
聯立橢圓方程：

x2

4

+y2=1可得（m²+4）y²+2my-3=0
記M、N縱坐標分別為y₁、y₂，
則S△OMN=

1

2

|OQ|×|y1-y2|=

1

2

×1×

16m2+48

m2+4

=

2 m2+3

m2+4

設t=

m2+3

(t≥3)
則S=

2t

t2+1

=

2

t+ 1 t

(t≥

3

)，該式在[

3

，+∞)單調遞減，
∴在t=

3

，即m=0時S取最大值

3

2

．
綜上，直線MN的方程為x=1．