Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，，．

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求異面直線與所成角的大小；

（Ⅲ）點在線段上，且，點在線段上，若平面，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）60°；（Ⅲ）．

【解析】

（Ⅰ）推導出，，，從而平面，進而，由此能證明平面；

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線與所成角的大小為；

（Ⅲ）求出平面的法向量，由平面，利用向量法能求出的值．

解：（Ⅰ）證明：在三棱柱中，

平面，，．

，，，

，平面，

平面，，

，平面．

（Ⅱ）以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標系，

，0，，，0，，，2，，，0，，

，0，，，，，

設異面直線與所成角為，

則，．

異面直線與所成角的大小為．

（Ⅲ）解：，2，，，0，，，0，，

，0，，，0，，，2，，

，2，，，0，，

設平面的法向量，，，

則，取，得，1，，

點在線段上，且，點在線段上，

設，，，，，，，

則，，，

即，0，，，，，，，，，

解得，0，，，，，，，，

平面，，

解得：．

∴的值為．