Question

已知函數f（x）的定義域為[0，1]，且f（x）的圖象連續不間斷．若函數f（x）滿足：對于給定的m（m∈R且0＜m＜1），存在x₀∈[0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），則稱f（x）具有性質P（m）．
（Ⅰ）已知函數f（x）=（x-

1

2

）²，x∈[0，1]，判斷f（x）是否具有性質P（

1

3

），并說明理由；
（Ⅱ）已知函數 f（x）=

-4x+1，0≤x≤ 1 4 4x-1， 1 4 ＜x＜ 3 4 -4x+5， 3 4 ≤x≤1

，若f（x）具有性質P（m），求m的最大值；
（Ⅲ）若函數f（x）的定義域為[0，1]，且f（x）的圖象連續不間斷，又滿足f（0）=f（1），求證：對任意k∈N^*且k≥2，函數f（x）具有性質P（

1

k

）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用f（x₀）=f（x₀+

1

3

），求出x₀，根據定義，即可得出結論；
（Ⅱ）m的最大值為

1

2

．分類進行證明，當m=

1

2

時，函數f（x）具有性質P（

1

2

）；假設存在

1

2

＜m＜1，使得函數f（x）具有性質P（m），則0＜1-m＜

1

2

，證明不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m）即可；
（Ⅲ）任取k∈N^*且k≥2，設g（x）=f（x+

1

k

）-f（x），其中x∈[0，

k-1

k

]，利用疊加法可得g（0）+g（

1

k

）+…+g（

t

k

）+…+g（

k-1

k

）=f（1）-f（0）=0，分類討論：當g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）中有一個為0時，函數f（x）具有性質P（

1

k

）；當g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）均不為0時，由于其和為0，則必然存在正數和負數，進而可證函數f（x）具有性質P（

1

k

）．

解答：（Ⅰ）解：設x0∈[0，1-

1

3

]，即x0∈[0，

2

3

]
令f（x₀）=f（x₀+

1

3

），則(x0-

1

2

)2=(x0+

1

3

-

1

2

)2，解得x₀=

1

3

∈[0，

2

3

]，
所以函數f（x）具有性質P（

1

3

）；                               …（3分）
（Ⅱ）解：m的最大值為

1

2

．
首先當m=

1

2

時，取x₀=

1

2

，則f（x₀）=f（

1

2

）=1，f（x₀+m）=f（

1

2

+

1

2

）=f（1）=1
所以函數f（x）具有性質P（

1

2

）                                …（5分）
假設存在

1

2

＜m＜1，使得函數f（x）具有性質P（m），則0＜1-m＜

1

2

．
當x₀=0時，x₀+m∈(

1

2

，1)，f（x₀）=1，f（x₀+m）＞1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
當x₀∈（0，1-m]時，x₀+m∈（

1

2

，1]，f（x₀）＜1，f（x₀+m）≥1，f（x₀）≠f（x₀+m）；
所以不存在x₀∈（0，1-m]，使得f（x₀）=f（x₀+m），
所以，m的最大值為

1

2

．                                        …（7分）
（Ⅲ）證明：任取k∈N^*且k≥2
設g（x）=f（x+

1

k

）-f（x），其中x∈[0，

k-1

k

]，則有g（0）=f（

1

k

）-f（0）
g（

1

k

）=f（

2

k

）-f（

1

k

）
…
g（

t

k

）=f（

t

k

+

1

k

）-f（

t

k

）
…
g（

k-1

k

）=f（1）-f（

k-1

k

）
以上各式相加得：g（0）+g（

1

k

）+…+g（

t

k

）+…+g（

k-1

k

）=f（1）-f（0）=0
當g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）中有一個為0時，不妨設為g（

i

k

）=0，i∈{0，1，…，k-1}，
即g（

i

k

）=f（

i

k

+

1

k

）-f（

i

k

）=0，則函數f（x）具有性質P（

1

k

）；
當g（0）、g（

1

k

）、…、g（

k-1

k

）均不為0時，由于其和為0，則必然存在正數和負數，
不妨設g（

i

k

）＞0，g（

j

k

）＜0，其中i≠j，i，j∈{0，1，…，k-1}，
由于g（x）是連續的，所以當j＞i時，至少存在一個x0∈(

i

k

，

j

k

)（當j＜i時，至少存在一個x0∈(

i

k

，

j

k

)）
使得g（x₀）=0，
即g（x₀）=f（x0+

1

k

）-f（x₀）=0
所以，函數f（x）具有性質P（

1

k

）                     …（10分）

點評：本題考查新定義，考查分類討論的數學思想，考查學生分析解決問題的能力，難度較大．