Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=4，AD=3，AA₁=2．E、F分別是線段AB、BC上的點，且EB=FB=1．
（1）求直線EC₁與FD₁所成角的余弦值；
（2）求二面角C-DE-C₁的平面角的正切值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz，寫出要用的點的坐標，把兩條直線對應的點的坐標寫出來，根據(jù)兩個向量之間的夾角表示出異面直線的夾角．
（2）設出平面的法向量的坐標，根據(jù)法向量與平面上的向量垂直，利用數(shù)量積表示出兩個向量的坐標之間的關系，求出平面的一個法向量，根據(jù)兩個向量之間的夾角求出結果．

解答：解：以A為原點，

AB

，

AD

，

AA1

分別為x軸，y軸，z軸的正向建立空間直角坐標系A-xyz，則有D（0，3，0）、D₁（0，3，2）、E（3，0，0）、F（4，1，0）、C₁（4，3，2）．
于是，

DE

=(3，-3，0)，

EC1

=(1，3，2)，

FD1

=(-4，2，2)．
（1）設EC₁與FD₁所成角為β，則cosβ=|

EC1 • FD1

| EC1 |×| FD1 |

|=|

1×(-4)+3×2+2×2

12+32+22 × (-4)2+22+22

|=

21

14

．
（2）設向量

n

=（x，y，z）與平面C₁DE垂直，則有

n⊥ DE n⊥ EC1

?

3x-3y=0 x+3y+2z=0

?x=y=-

1

2

z．
∴

n

=(-

z

2

，-

z

2

，z)=

z

2

(-1，-1，2)，其中z＞0．
取n₀=（-1，-1，2），則是一個與平面C₁DE垂直的向量．
∵向量

AA1

=（0，0，2）與平面CDE垂直，
∴n₀與

AA1

所成的角θ為二面角C-DE-C₁的平面角．
∵cosθ=

n0• AA1

|n0|×| AA1 |

=

-1×0-1×0+2×2

1+1+4 × 0+0+4

=

6

3

，
∴tanθ=

2

2

．

點評：本題考查用空間向量求平面間的夾角，本題解題的關鍵是建立適當?shù)淖鴺讼担瑢懗鲆�用的空間向量，把立體幾何的理論推導變成數(shù)字的運算，這樣降低了題目的難度．