Question

【題目】平面直角坐標系中，已知橢圓:的離心率為，且過點．

（1）求橢圓的方程；

（2）設橢圓，為橢圓上一點，過點的直線交橢圓于兩點，射線交橢圓于點Q．

（i）若為橢圓上任意一點，求的值；

（ii）若點坐標為，求面積的最大值．

Answer 1

【答案】（1）．（2）（i）2（ii）．

【解析】

（1）根據和，可得到，代入點到橢圓的方程，解出和的值即可得解；

（2）（i）先由（1）中的結論得出橢圓E的方程，設點，寫出射線的方程，再將其代入橢圓的方程可得到點的坐標，然后利用兩點間距離公式分別求出，并作比即可得解；

（ii）利用點到直線的距離公式可得到點到直線的距離，聯立直線的方程與橢圓的方程，消去得到關于的一元二次方程，然后利用弦長公式求出，即可表示出的面積，再結合換元法和對勾函數的性質即可求得面積的最大值．

（1）由題意可知，，

∵，∴，

又橢圓過點，∴，解得，∴，

∴橢圓C的方程為．

（2）（i）由（1）可知，橢圓E的方程為，設點，

∴射線的方程為，代入可得點，

∴．

（ii）∵，∴過點P的直線為，

∵點Q到直線AB的距離等于原點O到直線AB距離的3倍，

∴，

聯立，得，

∴弦長，

∴面積，

令，則，

當且僅當時，等號成立．

故面積的最大值為．