Question

【題目】記分別為函數的導函數．若存在，滿足且，則稱為函數與的一個“S點”．

（1）證明：函數與不存在“S點”；

（2）若函數與存在“S點”，求實數a的值；

（3）已知函數，．對任意，判斷是否存在，使函數與在區間內存在“S點”，并說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）a的值為

（3）對任意a>0，存在b>0，使函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）內存在“S點”．

【解析】分析：（1）根據題中“S點”的定義列兩個方程，根據方程組無解證得結論；（2）同（1）根據“S點”的定義列兩個方程，解方程組可得a的值；（3）通過構造函數以及結合 “S點”的定義列兩個方程，再判斷方程組是否有解即可證得結論.

詳解：解：（1）函數f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．

由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得

，此方程組無解，

因此，f（x）與g（x）不存在“S”點．

（2）函數，，

則．

設x0為f（x）與g（x）的“S”點，由f（x0）與g（x0）且f′（x0）與g′（x0），得

，即，（*）

得，即，則．

當時，滿足方程組（*），即為f（x）與g（x）的“S”點．

因此，a的值為．

（3）對任意a>0，設．

因為，且h（x）的圖象是不間斷的，

所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．

函數，

則．

由f（x）與g（x）且f′（x）與g′（x），得

，即（**）

此時，滿足方程組（**），即是函數f（x）與g（x）在區間（0，1）內的一個“S點”．

因此，對任意a>0，存在b>0，使函數f（x）與g（x）在區間（0，+∞）內存在“S點”．